Zadanie 12.2 Matura z matematyki (poziom rozszerzony) - Czerwiec 2025 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Pochodna funkcji \(V\).

\(V'(a)=6-\frac{3}{8}a^2\)

Krok 2. Miejsce zerowe pochodnej.

\(6-\frac{3}{8}a^2=0\)

\(a^2=16\)

\(a=4\) (bierzemy rozwiązanie dodatnie, należące do przedziału \(\left(0,4\sqrt{3}\right)\), bo \(4\sqrt{3}\approx 6{,}93\))

Krok 3. Badanie monotoniczności.

Dla \(a\in(0,4)\): \(V'(a)\gt 0\) — funkcja rosnąca.

Dla \(a\in\left(4,4\sqrt{3}\right)\): \(V'(a)\lt 0\) — funkcja malejąca.

Zatem w punkcie \(a=4\) funkcja \(V\) osiąga maksimum, które jest jednocześnie jej wartością największą w rozważanym przedziale.

Krok 4. Największa objętość.

\(V(4)=6\cdot 4-\frac{1}{8}\cdot 4^3=24-\frac{64}{8}=24-8=16\)

Odpowiedź: objętość jest największa dla krawędzi podstawy \(a=4\) i wynosi \(V_{\max}=16\).