Zadanie 22 Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2024 — zadania z rozwiązaniami

Rozważmy trójkąt \(ABS\). Jego podstawą jest bok \(AB\) o długości \(12\), a wysokością opuszczoną na tę podstawę — odcinek o długości \(|BS|=\frac{12}{2}=6\) (bo \(BC\perp AB\)).

Pole trójkąta \(ABS\):

\(P=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 6=36\)

Długość odcinka \(AS\) z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym \(ABS\):

\(|AS|=\sqrt{12^2+6^2}=\sqrt{144+36}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\)

Odcinek \(BP\) jest wysokością trójkąta \(ABS\) opuszczoną na bok \(AS\), więc pole można zapisać też tak:

\(P=\frac{1}{2}\cdot|AS|\cdot|BP|\)

\(36=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{5}\cdot|BP|\)

\(|BP|=\frac{72}{6\sqrt{5}}=\frac{12}{\sqrt{5}}=\frac{12\sqrt{5}}{5}\)

Odpowiedź: \(|BP|=\frac{12\sqrt{5}}{5}\)