Zadanie 33 Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Czerwiec 2023 — zadania z rozwiązaniami

Oznaczmy przez \(y\) wysokość prostokąta (odległość boku \(EF\) od podstawy \(AB\)), a przez \(x\) jego długość, czyli \(x=|EF|\).

Krok 1. Związek między \(x\) a \(y\).

Pole trapezu \(ABCD\) jest sumą pól trapezów \(ABFE\) i \(EFCD\):

\(P_{ABCD}=P_{ABFE}+P_{EFCD}\)

\(\frac{400+100}{2}\cdot 75=\frac{400+x}{2}\cdot y+\frac{x+100}{2}\cdot(75-y)\)

\(18\,750=\frac{400y+xy+75x-xy+7500-100y}{2}\)

\(37\,500=300y+75x+7500\)

\(75x=30\,000-300y\)

\(x=400-4y\)

Krok 2. Pole prostokąta jako funkcja jednej zmiennej.

\(P(y)=x\cdot y=(400-4y)\cdot y=-4y^2+400y\) dla \(y\in(0,75)\)

Krok 3. Wartość największa.

Jest to funkcja kwadratowa o współczynniku \(a=-4\lt 0\), więc największą wartość przyjmuje w wierzchołku. Miejsca zerowe to \(y=0\) i \(y=100\), zatem:

\(y_w=\frac{0+100}{2}=50\)

Wartość \(50\) należy do przedziału \((0,75)\), więc jest dopuszczalna.

Wtedy:

\(x=400-4\cdot 50=200\)

\(P_{max}=200\cdot 50=10\,000\)

Odpowiedź: boki prostokąta mają długości \(200\) m i \(50\) m, a największa powierzchnia placu wynosi \(10\,000\) m\(^2\).