Zadanie 11 Matura – Matematyka (Poziom podstawowy) 2009 – arkusz z rozwiązaniami

1) Boki prostokąta. Jednym bokiem jest wysokość walca \(H\), drugim — obwód podstawy \(2\pi r\). Przekątna ma długość 12 i tworzy z bokiem \(H\) kąt \(30^\circ\):

\(H=12\cos30^\circ=12\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\),

\(2\pi r=12\sin30^\circ=6\), skąd \(r=\dfrac{3}{\pi}\).

a) Pole powierzchni bocznej (czyli pole tego prostokąta):

\(P_b=2\pi r\cdot H=6\cdot6\sqrt3=36\sqrt3\).

b) Objętość.

\(V=\pi r^2H=\pi\cdot\dfrac{9}{\pi^2}\cdot6\sqrt3=\dfrac{54\sqrt3}{\pi}\).

Porównujemy z \(18\sqrt3\):

\(\dfrac{54\sqrt3}{\pi}>18\sqrt3\ \Longleftrightarrow\ \dfrac{54}{\pi}>18\ \Longleftrightarrow\ 54>18\pi\ \Longleftrightarrow\ 3>\pi\).

Ponieważ \(\pi\approx3{,}14>3\), nierówność jest fałszywa.

Odpowiedź: objętość walca nie jest większa od \(18\sqrt3\) (mamy \(V=\tfrac{54\sqrt3}{\pi}\approx29{,}8\), a \(18\sqrt3\approx31{,}2\)).