Oznaczmy \(L(n)=\sum_{k=1}^{n}k(k+2)(k!)^2\) oraz \(P(n)=\bigl[(n+1)!\bigr]^2-1\).
1) Baza indukcji \((n=1)\).
\(L(1)=1\cdot3\cdot(1!)^2=3\), \(\ P(1)=(2!)^2-1=4-1=3\). Równość zachodzi.
2) Krok indukcyjny. Załóżmy, że dla pewnego \(n\ge1\) zachodzi \(L(n)=\bigl[(n+1)!\bigr]^2-1\). Pokażemy, że \(L(n+1)=\bigl[(n+2)!\bigr]^2-1\).
\(L(n+1)=L(n)+(n+1)(n+3)\bigl[(n+1)!\bigr]^2=\bigl[(n+1)!\bigr]^2-1+(n+1)(n+3)\bigl[(n+1)!\bigr]^2\).
Wyłączamy \(\bigl[(n+1)!\bigr]^2\) przed nawias:
\(L(n+1)=\bigl[(n+1)!\bigr]^2\bigl[1+(n+1)(n+3)\bigr]-1=\bigl[(n+1)!\bigr]^2\bigl[n^2+4n+4\bigr]-1\),
\(L(n+1)=\bigl[(n+1)!\bigr]^2(n+2)^2-1=\bigl[(n+1)!\cdot(n+2)\bigr]^2-1=\bigl[(n+2)!\bigr]^2-1\).
Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór jest prawdziwy dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). \(\blacksquare\)