Zadanie 20 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2006 Styczeń — arkusz z rozwiązaniami

1) Baza indukcji \((n=1)\).

\(\dfrac{2}{2\cdot1-1}=\dfrac{2}{1}=2=a_1\). Wzór jest prawdziwy.

2) Krok indukcyjny. Załóżmy, że dla pewnego \(n\ge1\) zachodzi \(a_n=\dfrac{2}{2n-1}\). Pokażemy, że \(a_{n+1}=\dfrac{2}{2(n+1)-1}=\dfrac{2}{2n+1}\).

Korzystając ze wzoru rekurencyjnego i założenia indukcyjnego:

\(a_{n+1}=\dfrac{a_n}{a_n+1}=\dfrac{\dfrac{2}{2n-1}}{\dfrac{2}{2n-1}+1}=\dfrac{\dfrac{2}{2n-1}}{\dfrac{2+2n-1}{2n-1}}=\dfrac{2}{2n+1}\).

(Mianownik \(2n-1>0\) oraz \(a_n+1>0\), więc przekształcenia są poprawne.)

Otrzymaliśmy dokładnie \(\dfrac{2}{2(n+1)-1}\).

Na mocy zasady indukcji matematycznej wzór \(a_n=\dfrac{2}{2n-1}\) jest prawdziwy dla każdego \(n\ge1\). \(\blacksquare\)