Zadanie 6 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2012 Czerwiec — arkusz z rozwiązaniami

Obie strony nierówności są dodatnie (bo \(a,b,c,d>0\)), więc nierówność jest równoważna nierówności między kwadratami:

\((ac+bd)^2\le(a^2+b^2)(c^2+d^2)\).

Po rozwinięciu obu stron:

\(a^2c^2+2abcd+b^2d^2\le a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\),

co po redukcji daje

\(0\le a^2d^2-2abcd+b^2c^2=(ad-bc)^2\).

Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych, ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny. Wszystkie przekształcenia były równoważne, zatem nierówność wyjściowa jest prawdziwa. \(\blacksquare\)