Krok 1. Pierwiastki pierwszego czynnika. Sprawdzamy $x=-1$:
$$-1+2-2+1=0\ \checkmark$$
więc $(x+1)$ jest dzielnikiem. Po podzieleniu:
$$x^{3}+2x^{2}+2x+1=(x+1)\left(x^{2}+x+1\right).$$
Trójmian $x^{2}+x+1$ ma $\Delta=1-4=-3\lt 0$, więc nie ma pierwiastków rzeczywistych. Pierwszy czynnik daje zatem dokładnie jeden pierwiastek: $x=-1$.
Krok 2. Pierwiastki drugiego czynnika.
$$\Delta=(2m+1)^{2}-4\left(m^{2}+m\right)=4m^{2}+4m+1-4m^{2}-4m=1.$$
Wyróżnik jest dodatni dla każdego $m$, a $\sqrt{\Delta}=1$:
$$x=\frac{(2m+1)\pm1}{2}\ \Longrightarrow\ x=m+1\quad\text{lub}\quad x=m.$$
Krok 3. Warunek trzech różnych pierwiastków. Pierwiastkami równania są $-1$, $m$, $m+1$. Muszą być parami różne:
$$m\neq-1\qquad\text{oraz}\qquad m+1\neq-1,\ \text{czyli}\ m\neq-2.$$
Krok 4. Warunek średniej arytmetycznej. Rozpatrujemy trzy przypadki.
(a) $m$ jest średnią $-1$ i $m+1$:
$$2m=-1+(m+1)=m\ \Longrightarrow\ m=0.$$
(b) $m+1$ jest średnią $-1$ i $m$:
$$2(m+1)=-1+m\ \Longrightarrow\ 2m+2=m-1\ \Longrightarrow\ m=-3.$$
(c) $-1$ jest średnią $m$ i $m+1$:
$$-2=2m+1\ \Longrightarrow\ m=-\frac32\ \text{— nie jest liczbą całkowitą, odpada.}$$
Krok 5. Weryfikacja. Obie znalezione wartości spełniają $m\neq-1$ i $m\neq-2$.
Dla $m=0$ pierwiastki to $-1,\,0,\,1$, a $0=\frac{-1+1}{2}$ ✓
Dla $m=-3$ pierwiastki to $-3,\,-2,\,-1$, a $-2=\frac{-3+(-1)}{2}$ ✓
Odpowiedź: $m=-3$ lub $m=0$