Krok 1. Pomysł — rozkład na sumę kwadratów. Spróbujmy zapisać lewą stronę jako sumę kwadratów powiększoną o liczbę dodatnią. Zacznijmy od uzupełnienia $x^{4}$ do pełnego kwadratu:
$$\left(x^{2}-1\right)^{2}=x^{4}-2x^{2}+1\ \Longrightarrow\ x^{4}=\left(x^{2}-1\right)^{2}+2x^{2}-1.$$
Krok 2. Podstawienie.
$$x^{4}-x^{2}-2x+3=\left(x^{2}-1\right)^{2}+2x^{2}-1-x^{2}-2x+3=\left(x^{2}-1\right)^{2}+x^{2}-2x+2.$$
Krok 3. Drugi kwadrat. Pozostałe wyrazy również zwijamy:
$$x^{2}-2x+2=(x-1)^{2}+1.$$
Ostatecznie
$$x^{4}-x^{2}-2x+3=\left(x^{2}-1\right)^{2}+(x-1)^{2}+1.$$
Sprawdzenie rozkładu: $\left(x^{2}-1\right)^{2}+(x-1)^{2}+1=x^{4}-2x^{2}+1+x^{2}-2x+1+1=x^{4}-x^{2}-2x+3$ ✓
Krok 4. Uzasadnienie nierówności. Kwadraty liczb rzeczywistych są nieujemne:
$$\left(x^{2}-1\right)^{2}\ge0,\qquad (x-1)^{2}\ge0.$$
Zatem dla każdego $x$
$$x^{4}-x^{2}-2x+3\ge 0+0+1=1>0,$$
co kończy dowód. $\blacksquare$
Uwaga: najmniejszą wartość $1$ wyrażenie osiąga dla $x=1$, bo wtedy oba kwadraty znikają jednocześnie.