Zadanie 3 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2017 – arkusz z rozwiązaniami

Oznaczmy $|CD|=h$. Z treści $|AD|=h$ oraz $|BC|=2h$.

Krok 1. Kąt $ACD$. Trójkąt $ADC$ ma kąt prosty przy $D$ (bo $CD$ jest wysokością) oraz obie przyprostokątne równe $h$. Jest więc prostokątny równoramienny:

$$\angle ACD=45^\circ.$$

Krok 2. Kąt $DCB$. W trójkącie prostokątnym $BDC$ przyprostokątna $CD=h$ leży naprzeciw kąta przy $B$, a przeciwprostokątna to $BC=2h$:

$$\sin\angle DBC=\frac{h}{2h}=\frac12\ \Longrightarrow\ \angle DBC=30^\circ\ \Longrightarrow\ \angle DCB=60^\circ.$$

Krok 3. Kąt środkowy.

$$\angle ACB=\angle ACD+\angle DCB=45^\circ+60^\circ=105^\circ.$$

Punkty $K$ i $L$ leżą na okręgu o środku $C$, na półprostych $CA$ i $CB$, więc $\angle KCL=\angle ACB=105^\circ$ jest kątem środkowym opartym na łuku $KL$.

Krok 4. Kąt wpisany. Kąt $\alpha=\angle KML$ jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku, więc ma połowę miary kąta środkowego:

$$\alpha=\frac{105^\circ}{2}=52{,}5^\circ.$$

Odpowiedź: C