Krok 1. Rozkład na czynniki.

$$k^{3}m-km^{3}=km\left(k^{2}-m^{2}\right)=km(k-m)(k+m).$$

Ponieważ $6=2\cdot3$, a liczby $2$ i $3$ są względnie pierwsze, wystarczy pokazać, że iloczyn dzieli się osobno przez $2$ i przez $3$.

Krok 2. Podzielność przez 2. Rozważmy dwa przypadki:

• jeśli co najmniej jedna z liczb $k$, $m$ jest parzysta, to iloczyn $km$ jest parzysty;

• jeśli obie są nieparzyste, to ich różnica $k-m$ jest parzysta.

W obu przypadkach iloczyn $km(k-m)(k+m)$ zawiera czynnik parzysty, więc dzieli się przez $2$.

Krok 3. Podzielność przez 3. Rozważmy reszty z dzielenia przez $3$:

• jeśli $k$ lub $m$ dzieli się przez $3$, to $km$ dzieli się przez $3$;

• jeśli $k$ i $m$ dają tę samą niezerową resztę, to $3\mid k-m$;

• jeśli dają różne niezerowe reszty, czyli $1$ i $2$, to ich suma daje resztę $1+2=3$, więc $3\mid k+m$.

W każdym przypadku iloczyn zawiera czynnik podzielny przez $3$.

Krok 4. Wniosek. Iloczyn $km(k-m)(k+m)$ dzieli się jednocześnie przez $2$ i przez $3$, a te liczby są względnie pierwsze, więc dzieli się przez $6$. $\blacksquare$

Krótsze uzasadnienie: dla każdej liczby całkowitej zachodzi $k^{3}\equiv k\pmod 6$, więc $k^{3}m-km^{3}\equiv km-km=0\pmod 6$.