Zadanie 7 Matura – Matematyka (Poziom rozszerzony) 2018 – arkusz z rozwiązaniami

Krok 1. Wspólny punkt dwusiecznych. Dwusieczne kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie — środku okręgu wpisanego. Oznaczmy go przez $I$. Zatem

$$I\in d_A,\qquad I\in d_B,\qquad I\in d_C.$$

Krok 2. Własność symetrii osiowej. Symetria osiowa jest izometrią, więc zachowuje odległości. W szczególności, jeśli oś symetrii przechodzi przez pewien punkt, to odległość dowolnego punktu od tego punktu nie zmienia się po odbiciu.

Formalnie: jeśli $X^{\prime}$ jest obrazem punktu $X$ w symetrii względem prostej $\ell$ oraz $I\in\ell$, to

$$|IX^{\prime}|=|IX|,$$

bo punkt $I$ jest swoim własnym obrazem (leży na osi), a izometria zachowuje odległość między obrazami.

Krok 3. Zastosowanie do kolejnych odbić. Każda z trzech użytych osi przechodzi przez $I$, więc:

$$|IL|=|IK|\quad(\text{symetria względem }d_A),$$

$$|IM|=|IL|\quad(\text{symetria względem }d_C),$$

$$|IN|=|IM|\quad(\text{symetria względem }d_B).$$

Krok 4. Wniosek. Łącząc powyższe równości:

$$|IK|=|IL|=|IM|=|IN|.$$

Wszystkie cztery punkty $K$, $N$, $M$, $L$ są więc jednakowo oddalone od punktu $I$, czyli leżą na okręgu o środku $I$ i promieniu $|IK|$.

Oznacza to, że na czworokącie $KNML$ można opisać okrąg. $\blacksquare$

Uwaga: założenie $|AC|>|BC|$ gwarantuje jedynie, że punkty układają się tak jak na rysunku (czworokąt nie degeneruje się) — sam dowód opiera się wyłącznie na tym, że osie odbić przechodzą przez środek okręgu wpisanego.