Krok 1. Podstawienie. Oznaczmy $t=(a-1)^{2}-4$. Równanie przyjmuje postać $|x-5|=t$.
Krok 2. Analiza liczby rozwiązań.
Dla $t\lt 0$ równanie nie ma rozwiązań, dla $t=0$ ma jedno ($x=5$), a dla $t>0$ ma dwa:
$$x_1=5+t,\qquad x_2=5-t.$$
Krok 3. Warunek dodatniości. Rozwiązanie $x_1=5+t$ jest dodatnie zawsze, gdy $t>0$. Drugie wymaga
$$5-t>0\ \Longrightarrow\ t\lt 5.$$
Zatem warunkiem jest $0\lt t\lt 5$.
Krok 4. Powrót do parametru.
$$0\lt (a-1)^{2}-4\lt 5\ \Longrightarrow\ 4\lt (a-1)^{2}\lt 9\ \Longrightarrow\ 2\lt |a-1|\lt 3.$$
Nierówność $|a-1|>2$ daje $a\lt -1$ lub $a>3$, a $|a-1|\lt 3$ daje $-2\lt a\lt 4$. Część wspólna:
$$a\in(-2,-1)\cup(3,4).$$
Kontrola brzegów: dla $a=4$ mamy $t=5$ i wtedy $x_2=0$ — rozwiązanie nie jest dodatnie. Dla $a=3$ mamy $t=0$ i tylko jedno rozwiązanie. Oba przypadki słusznie wykluczone.
Odpowiedź: $a\in(-2,-1)\cup(3,4)$