Kąt $\beta$ leży w III ćwiartce, więc $\sin\beta<0$. Z jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\beta=1-\cos^2\beta=1-\tfrac19=\tfrac89\ \Rightarrow\ \sin\beta=-\frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

Stosujemy wzór na sinus różnicy:

$$\sin\left(\beta-\tfrac{\pi}{3}\right)=\sin\beta\cos\tfrac{\pi}{3}-\cos\beta\sin\tfrac{\pi}{3}.$$

Podstawiamy $\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$ oraz $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$:

$$=-\frac{2\sqrt2}{3}\cdot\frac12-\left(-\frac13\right)\cdot\frac{\sqrt3}{2}=-\frac{\sqrt2}{3}+\frac{\sqrt3}{6}=\frac{-2\sqrt2+\sqrt3}{6}.$$

Odpowiedź: A