Dane: $|AB| = 11$, $|BC| = 12$, $|\angle ABC| = 60°$.
Ocena stwierdzenia 1: „Trójkąt $ABC$ jest równoramienny."
-
Krok 1 – Wyznaczenie boku $AC$ (twierdzenie cosinusów).
Korzystamy z twierdzenia cosinusów dla boku naprzeciwległego do kąta $\angle ABC$:
$$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(\angle ABC)$$
$$|AC|^2 = 11^2 + 12^2 - 2 \cdot 11 \cdot 12 \cdot \cos 60°$$
$$|AC|^2 = 121 + 144 - 264 \cdot \frac{1}{2}$$
$$|AC|^2 = 265 - 132 = 133$$
$$|AC| = \sqrt{133}$$
-
Krok 2 – Porównanie długości boków.
Mamy trzy boki:
- $|AB| = 11$
- $|BC| = 12$
- $|AC| = \sqrt{133} \approx 11{,}53$
Sprawdzamy, czy którekolwiek dwa boki są równe:
- $|AB| = 11 \neq 12 = |BC|$
- $|AB| = 11 \neq \sqrt{133} = |AC|$, bo $11^2 = 121 \neq 133$
- $|BC| = 12 \neq \sqrt{133} = |AC|$, bo $12^2 = 144 \neq 133$
Żadne dwa boki nie są równe — trójkąt jest różnoboczny.
Stwierdzenie 1 jest FAŁSZYWE.
Ocena stwierdzenia 2: „Pole trójkąta $ABC$ jest równe $33\sqrt{3}$."
-
Krok 1 – Wzór na pole trójkąta z dwóch boków i kąta między nimi.
Kąt $\angle ABC$ jest zawarty między bokami $|AB|$ i $|BC|$, dlatego możemy zastosować wzór:
$$P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \sin(\angle ABC)$$
-
Krok 2 – Obliczenie pola.
$$P = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin 60°$$
$$P = \frac{1}{2} \cdot 132 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$P = \frac{132\sqrt{3}}{4} = 33\sqrt{3}$$
Stwierdzenie 2 jest PRAWDZIWE.
Odpowiedź końcowa
Stwierdzenie 1 — FAŁSZ (trójkąt ma trzy różne boki: $11$, $12$, $\sqrt{133}$, więc nie jest równoramienny).
Stwierdzenie 2 — PRAWDA (pole trójkąta wynosi $\dfrac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin 60° = 33\sqrt{3}$).
