Rozwiązanie zadania 18.2
Dane i oznaczenia
Trójkąt prostokątny $ABC$, w którym:
- $BC$ jest przeciwprostokątną (kąt prosty przy wierzchołku $A$),
- przyprostokątna $AB = 6$,
- $CD$ jest środkową, gdzie $D$ jest środkiem $AB$, więc $AD = DB = 3$,
- długość środkowej $CD = 5$,
- $\alpha = \angle ADC$, $\beta = \angle ABC$.
-
Krok 1 – wyznaczenie długości $AC$.
Ponieważ $D$ jest środkiem $AB$, mamy $AD = 3$. W trójkącie $ACD$ kąt przy $A$ jest prosty (kąt $\angle CAB = 90°$), więc ze wzoru Pitagorasa:
$$CD^2 = AC^2 + AD^2$$
$$25 = AC^2 + 9$$
$$AC^2 = 16 \implies AC = 4.$$
-
Krok 2 – wyznaczenie długości $BC$.
Kąt $\angle CAB = 90°$, więc z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta $ABC$:
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 36 + 16 = 52$$
$$BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}.$$
-
Krok 3 – obliczenie $\sin\beta$.
Kąt $\beta = \angle ABC$ jest kątem przy wierzchołku $B$ w trójkącie prostokątnym $ABC$ (prostokątnym przy $A$). Bok naprzeciwległy do kąta $\beta$ to $AC = 4$, a przeciwprostokątna to $BC = 2\sqrt{13}$. Zatem:
$$\sin\beta = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}.$$
Weryfikacja odpowiedzi
- Odpowiedź A) $\dfrac{2}{\sqrt{13}}$ — POPRAWNA. Wynika bezpośrednio z obliczeń: $\sin\beta = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{4}{2\sqrt{13}} = \dfrac{2}{\sqrt{13}}$.
- Odpowiedź B) $\dfrac{3}{\sqrt{13}}$ — BŁĘDNA. Wartość $3$ to długość $AD$ (połowa $AB$), a nie bok naprzeciwległy kąta $\beta$. Ktoś mógłby błędnie użyć połowy $AB$ zamiast $AC$.
- Odpowiedź C) $\dfrac{5}{2\sqrt{13}}$ — BŁĘDNA. Wartość $5$ to długość środkowej $CD$, a nie bok odpowiedni do obliczenia sinusa kąta $\beta$. Użycie $CD$ zamiast $AC$ w liczniku prowadzi do błędnego wyniku.
- Odpowiedź D) $\dfrac{4}{5}$ — BŁĘDNA. Jest to sinus kąta $\alpha = \angle ADC$ w trójkącie $ACD$: $\sin\alpha = \dfrac{AC}{CD} = \dfrac{4}{5}$. Pomylono kąt $\alpha$ z kątem $\beta$.
Wynik końcowy
$$\boxed{\sin\beta = \dfrac{2}{\sqrt{13}}}$$
Odpowiedź poprawna: A
