Rozwiązanie
-
Krok 1: Uproszczenie wyrażeń pod pierwiastkami
Upraszczamy $\sqrt{32}$:
$$\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$$
Zatem badane wyrażenie przyjmuje postać:
$$(\sqrt{32} - \sqrt{2})^2 = (4\sqrt{2} - \sqrt{2})^2$$
-
Krok 2: Wyłączenie wspólnego czynnika
Wyłączamy $\sqrt{2}$ przed nawias:
$$(4\sqrt{2} - \sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2$$
-
Krok 3: Obliczenie wyniku
Podnosimy do kwadratu:
$$(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$$
Analiza odpowiedzi
- A) 16 — odpowiedź błędna. Wynik $16$ otrzymałby uczeń, który błędnie założył, że $\sqrt{32} - \sqrt{2} = 4$, czyli pominął $\sqrt{2}$ lub niepoprawnie upraszczał wyrażenie.
- B) 18 — odpowiedź poprawna. Zgodnie z obliczeniami: $(\sqrt{32}-\sqrt{2})^2 = (3\sqrt{2})^2 = 18$.
- C) 30 — odpowiedź błędna. Wynik $30$ mógłby powstać przy błędnym zastosowaniu wzoru skróconego mnożenia, np. pominięciu składnika $-2\cdot\sqrt{32}\cdot\sqrt{2}$ lub obliczeniu go ze złym znakiem: $32 + 2 - 4 = 30$.
- D) 34 — odpowiedź błędna. Wynik $34$ otrzymałby uczeń, który zamiast odejmować, dodawał wyrazy w klamrze, stosując wzór $(a+b)^2$ zamiast $(a-b)^2$: $(\sqrt{32})^2 + (\sqrt{2})^2 = 32 + 2 = 34$, ignorując człon z iloczynem.
Wynik końcowy:
$$(\sqrt{32} - \sqrt{2})^2 = \boxed{18}$$
Prawidłowa odpowiedź to B).
