Zadanie 1 Matura — Matematyka (Poziom rozszerzony) 2025 — arkusz z rozwiązaniami

Rozwiązanie zadania o dynamice wzrostu populacji bakterii.

1. Krok 1: Zapisanie warunków początkowych

   Z treści zadania wynika, że:

   • W chwili $t = 0$: $N(0) = N_0 = 10\,000$
   • W chwili $t = 2$: $N(2) = 15\,625$

   Model wzrostu populacji ma postać:

   $$N(t) = N_0 \cdot k^t$$
2. Krok 2: Wyznaczenie stałej $k$

   Podstawiamy znane wartości do wzoru dla $t = 2$:

   $$N(2) = N_0 \cdot k^2$$ $$15\,625 = 10\,000 \cdot k^2$$

   Dzielimy obie strony przez $10\,000$:

   $$k^2 = \frac{15\,625}{10\,000} = \frac{25}{16}$$

   Wyznaczamy $k$ (z warunku $k > 0$):

   $$k = \sqrt{\frac{25}{16}} = \frac{5}{4} = 1{,}25$$
3. Krok 3: Interpretacja wyznaczonej stałej $k$

   Stała $k = 1{,}25$ oznacza, że każda kolejna wartość $N(t+1)$ jest równa $N(t)$ pomnożonemu przez $k$, czyli:

   $$\frac{N(t+1)}{N(t)} = k = 1{,}25$$

   Przyrost względny liczebności populacji w ciągu każdej godziny wynosi:

   $$k - 1 = 1{,}25 - 1 = 0{,}25 = 25\%$$
4. Krok 4: Sprawdzenie wyniku

   Po jednej godzinie: $N(1) = 10\,000 \cdot 1{,}25 = 12\,500$

   Po dwóch godzinach: $N(2) = 12\,500 \cdot 1{,}25 = 15\,625$ ✓

   Wynik jest zgodny z danymi z treści zadania.

Odpowiedź: Liczebność populacji bakterii wzrastała o $\boldsymbol{25\%}$ w ciągu każdej godziny.