Rozwiązanie
-
Krok 1: Wyznaczenie przestrzeni zdarzeń elementarnych
Dwukrotnie rzucamy kostką sześcienną. Każdy rzut daje wynik z przedziału $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. Wszystkich możliwych par wyników jest:
$$|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36$$
Każda para $(i, j)$, gdzie $i$ – wynik pierwszego rzutu, $j$ – wynik drugiego rzutu, jest jednakowo prawdopodobna.
-
Krok 2: Wyznaczenie zdarzeń sprzyjających zdarzeniu $A$
Szukamy wszystkich par $(i, j)$ takich, że $i + j = 11$, gdzie $i, j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Wypisujemy możliwe pary:
- $(5, 6)$: $5 + 6 = 11$ ✓
- $(6, 5)$: $6 + 5 = 11$ ✓
Innych możliwości nie ma – aby suma wynosiła $11$, potrzebujemy par $(5,6)$ lub $(6,5)$. Para $(4,7)$ jest niemożliwa, bo $7$ nie jest wynikiem rzutu kostką.
Zatem liczba zdarzeń sprzyjających:
$$|A| = 2$$
-
Krok 3: Obliczenie prawdopodobieństwa
Korzystając z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:
$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{2}{36}$$
-
Krok 4: Analiza odpowiedzi
- Odpowiedź A) $\dfrac{1}{36}$ – błędna. Byłaby poprawna, gdyby zdarzeniu sprzyjała tylko jedna para (np. gdyby szukano sumy równej $12$, wtedy jedyna para to $(6,6)$). Tutaj sprzyjają dwie pary, nie jedna.
- Odpowiedź B) $\dfrac{6}{36}$ – błędna. Tyle wynosi prawdopodobieństwo zdarzeń, którym sprzyja $6$ par (np. suma równa $7$ ma $6$ par sprzyjających). Suma $11$ ma tylko $2$ pary sprzyjające.
- Odpowiedź C) $\dfrac{11}{36}$ – błędna. Liczba $11$ to wartość szukanej sumy, a nie liczba zdarzeń sprzyjających. Jest to typowa pułapka polegająca na myleniu wartości sumy z liczbą sprzyjających wyników.
- Odpowiedź D) $\dfrac{2}{36}$ – poprawna. Zdarzeniu $A$ sprzyjają dokładnie $2$ pary: $(5,6)$ i $(6,5)$, a przestrzeń zdarzeń elementarnych liczy $36$ elementów.
Odpowiedź: D) $$P(A) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$$
