Zadanie 10. Rozwiąż nierówność $3(2x^2+1) \lt 7x^2 - 2(x^2 - 3)$.
-
Krok 1. Rozwiń nawiasy po obu stronach nierówności.
Lewa strona:
$$3(2x^2+1) = 6x^2 + 3$$
Prawa strona:
$$7x^2 - 2(x^2 - 3) = 7x^2 - 2x^2 + 6 = 5x^2 + 6$$
Nierówność przyjmuje postać:
$$6x^2 + 3 \lt 5x^2 + 6$$
-
Krok 2. Przenieś wszystkie wyrazy na lewą stronę nierówności.
$$6x^2 + 3 - 5x^2 - 6 \lt 0$$
$$x^2 - 3 \lt 0$$
-
Krok 3. Rozwiąż nierówność kwadratową $x^2 - 3 \lt 0$.
Znajdź pierwiastki równania $x^2 - 3 = 0$:
$$x^2 = 3 \implies x = -\sqrt{3} \quad \text{lub} \quad x = \sqrt{3}$$
Parabola $y = x^2 - 3$ jest skierowana ramionami ku górze (współczynnik przy $x^2$ jest dodatni), więc wyrażenie $x^2 - 3$ jest ujemne między pierwiastkami.
Zatem nierówność $x^2 - 3 \lt 0$ jest spełniona dla:
$$-\sqrt{3} \lt x \lt \sqrt{3}$$
-
Krok 4. Zapis rozwiązania.
Rozwiązaniem nierówności jest przedział otwarty:
$$x \in \left(-\sqrt{3},\ \sqrt{3}\right)$$
Wynik końcowy:
$$\boxed{x \in \left(-\sqrt{3},\ \sqrt{3}\right)}$$
