Rozwiązanie:
-
Krok 1: Wyznaczenie przestrzeni zdarzeń elementarnych.
Przy dwukrotnym rzucie kostką sześcienną każdy wynik to para $(i, j)$, gdzie $i$ oznacza wynik pierwszego rzutu, a $j$ — wynik drugiego rzutu, przy czym $i, j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Łączna liczba wszystkich możliwych wyników wynosi:
$$|\Omega| = 6 \times 6 = 36$$
-
Krok 2: Wyznaczenie zdarzeń sprzyjających zdarzeniu $A$.
Szukamy wszystkich par $(i, j)$ takich, że $i + j = 11$, gdzie $i, j \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Sprawdzamy systematycznie:
- $i = 5,\ j = 6$: $\quad 5 + 6 = 11$ ✓
- $i = 6,\ j = 5$: $\quad 6 + 5 = 11$ ✓
Nie istnieją inne kombinacje (np. $i = 4,\ j = 7$ jest niemożliwe, bo $7 > 6$).
Zatem liczba wyników sprzyjających zdarzeniu $A$:
$$|A| = 2$$
-
Krok 3: Obliczenie prawdopodobieństwa zdarzenia $A$.
Korzystamy z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:
$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{2}{36}$$
-
Krok 4: Analiza odpowiedzi.
- Odpowiedź A) $\dfrac{1}{36}$ — błędna. Odpowiadałaby sytuacji, gdyby istniał dokładnie jeden wynik sprzyjający (np. suma równa 12, bo jedyną parą jest $(6,6)$). Dla sumy równej 11 istnieją dwa wyniki: $(5,6)$ i $(6,5)$.
- Odpowiedź B) $\dfrac{2}{36}$ — poprawna. Istnieją dokładnie dwie pary: $(5, 6)$ oraz $(6, 5)$, których suma wynosi $11$. Przy 36 jednakowo prawdopodobnych wynikach daje to $P(A) = \dfrac{2}{36}$.
- Odpowiedź C) $\dfrac{6}{36}$ — błędna. Mianownik 6 w liczniku oznaczałby 6 par sprzyjających, co odpowiada np. sumie równej 7 (jest 6 takich par: $(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)$), a nie sumie równej 11.
- Odpowiedź D) $\dfrac{11}{36}$ — błędna. Liczba 11 w liczniku to wartość sumy oczek, a nie liczba wyników sprzyjających — jest to typowy błąd polegający na pomyleniu wartości sumy z liczbą zdarzeń elementarnych.
Wynik końcowy:
Prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ jest równe $\dfrac{2}{36}$.
Odpowiedź: B)
