Rozwiązanie — Zadanie 21
Dany jest trójkąt $ABC$, w którym $|AB| = 11$, $|BC| = 12$ oraz $|\angle ABC| = 60°$.
Krok 1: Wyznaczenie boku $AC$ za pomocą twierdzenia cosinusów
Kąt $\angle ABC = 60°$ jest zawarty między bokami $AB$ i $BC$. Bok leżący naprzeciwko tego kąta to $AC$. Stosujemy twierdzenie cosinusów:
$$|AC|^2 = |AB|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \cos(\angle ABC)$$
$$|AC|^2 = 11^2 + 12^2 - 2 \cdot 11 \cdot 12 \cdot \cos 60°$$
$$|AC|^2 = 121 + 144 - 264 \cdot \frac{1}{2}$$
$$|AC|^2 = 265 - 132 = 133$$
$$|AC| = \sqrt{133}$$
Krok 2: Ocena stwierdzenia 1 — „Trójkąt $ABC$ jest równoramienny"
Trójkąt jest równoramienny, gdy dwa z jego boków są równe. Porównujemy długości wszystkich trzech boków:
- $|AB| = 11$
- $|BC| = 12$
- $|AC| = \sqrt{133} \approx 11{,}53$
Sprawdzamy, czy którekolwiek dwa boki są równe:
- $|AB| = |BC|$? $\quad 11 \neq 12$ — NIE
- $|AB| = |AC|$? $\quad 11 \neq \sqrt{133}$, bo $11^2 = 121 \neq 133$ — NIE
- $|BC| = |AC|$? $\quad 12 \neq \sqrt{133}$, bo $12^2 = 144 \neq 133$ — NIE
Żadne dwa boki nie są równe, więc trójkąt jest różnoboczny.
Stwierdzenie 1 jest FAŁSZYWE → F
Krok 3: Ocena stwierdzenia 2 — „Pole trójkąta $ABC$ jest równe $33\sqrt{3}$"
Pole trójkąta, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi, obliczamy ze wzoru:
$$P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |BC| \cdot \sin(\angle ABC)$$
$$P = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin 60°$$
$$P = \frac{1}{2} \cdot 132 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$
$$P = \frac{132\sqrt{3}}{4} = 33\sqrt{3}$$
Pole trójkąta wynosi dokładnie $33\sqrt{3}$.
Stwierdzenie 2 jest PRAWDZIWE → P
Odpowiedź końcowa
- Trójkąt $ABC$ jest równoramienny → F (fałsz, gdyż wszystkie trzy boki mają różne długości: $11$, $12$, $\sqrt{133}$)
- Pole trójkąta $ABC$ jest równe $33\sqrt{3}$ → P (prawda, gdyż $P = \frac{1}{2} \cdot 11 \cdot 12 \cdot \sin 60° = 33\sqrt{3}$)
