Rozwiązanie
Krok 1. Analiza danych i warunek podobieństwa
Mamy trójkąt równoramienny $ABC$, w którym $|AC| = |BC| = 4$ oraz $|AB| = 3$. Punkt $D$ leży na boku $BC$ (między $B$ i $C$), a trójkąty $ABC$ i $BDA$ są podobne.
Zapisujemy boki trójkąta $ABC$:
$$|AB| = 3, \quad |AC| = 4, \quad |BC| = 4$$
Krok 2. Ustalenie odpowiedniej korespondencji wierzchołków
Szukamy takiego przyporządkowania wierzchołków, które jest geometrycznie możliwe (punkt $D$ leży na $BC$, między $B$ i $C$).
Rozważamy podobieństwo $\triangle ABC \sim \triangle BDA$. Oznacza to korespondencję:
$$A \leftrightarrow B, \quad B \leftrightarrow D, \quad C \leftrightarrow A$$
Kąt przy wierzchołku $B$ jest wspólny dla obu trójkątów — w trójkącie $ABC$ jest to kąt $\angle ABC$, a w trójkącie $BDA$ jest to kąt $\angle DBA = \angle ABD$. To ten sam kąt, więc warunek korespondencji $B \leftrightarrow B$ (tj. $\angle B$ wspólny) jest spełniony.
Przy podobieństwie $\triangle ABC \sim \triangle BDA$ odpowiadające sobie boki to:
$$\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|BC|}{|BA|} = \frac{|AC|}{|DA|}$$
Krok 3. Obliczenie długości $BD$
Korzystamy z proporcji między bokami:
$$\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|BC|}{|BA|}$$
Podstawiamy znane wartości $|AB| = 3$ oraz $|BC| = 4$:
$$\frac{3}{|BD|} = \frac{4}{3}$$
Stąd:
$$|BD| = \frac{3 \cdot 3}{4} = \frac{9}{4} = 2{,}25$$
Krok 4. Sprawdzenie poprawności (weryfikacja warunku $D$ leży między $B$ i $C$)
Ponieważ $|BD| = 2{,}25 < 4 = |BC|$, punkt $D$ rzeczywiście leży między $B$ i $C$. ✓
Można też sprawdzić trzecią proporcję: $|DC| = |BC| - |BD| = 4 - 2{,}25 = 1{,}75$. Stosunek podobieństwa wynosi $\frac{3}{|BD|} = \frac{3}{2{,}25} = \frac{4}{3}$, co jest zgodne ze stosunkiem $\frac{|BC|}{|BA|} = \frac{4}{3}$. ✓
Ocena odpowiedzi:
- Odpowiedź A) $BD = 2$ — błędna. Gdyby $|BD| = 2$, to proporcja $\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{3}{2}$, podczas gdy $\frac{|BC|}{|BA|} = \frac{4}{3}$. Proporcje nie są równe, więc trójkąty nie byłyby podobne.
- Odpowiedź B) $BD = 3$ — błędna. Gdyby $|BD| = 3 = |AB|$, trójkąt $BDA$ byłby przystający z $ABC$, ale $|BC| = 4 \neq 3$, co jest sprzeczne — nie zachodzi właściwa korespondencja boków.
- Odpowiedź C) $BD = 2{,}25$ — poprawna, co wykazano w obliczeniach powyżej.
- Odpowiedź D) $BD = 2{,}5$ — błędna. Gdyby $|BD| = 2{,}5$, proporcja wynosiłaby $\frac{3}{2{,}5} = 1{,}2$, a nie $\frac{4}{3} \approx 1{,}333$. Warunek podobieństwa nie byłby spełniony.
Wynik końcowy:
$$\boxed{|BD| = 2{,}25}$$
Prawidłowa odpowiedź to C).
