Rozwiązanie zadania 18.2
Analiza układu
Mamy trójkąt prostokątny $ABC$, w którym:
- kąt prosty jest przy wierzchołku $A$ (bo $BC$ jest przeciwprostokątną),
- $AB = 6$,
- $CD$ jest środkową do boku $AB$, więc $D$ jest środkiem $AB$, zatem $AD = 3$,
- $CD = 5$.
-
Krok 1 – Wyznaczenie długości $AC$.
W trójkącie $ACD$ kąt przy $A$ jest prosty (skoro kąt $BAC = 90°$), więc:
$$CD^2 = AC^2 + AD^2$$
$$25 = AC^2 + 9$$
$$AC^2 = 16 \implies AC = 4$$
-
Krok 2 – Wyznaczenie długości $BC$.
Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ABC$:
$$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 36 + 16 = 52$$
$$BC = 2\sqrt{13}$$
-
Krok 3 – Obliczenie $\sin\beta$.
Kąt $\beta = \angle ABC$ leży w trójkącie prostokątnym $ABC$ (z prostym kątem przy $A$). Bok naprzeciw kąta $\beta$ to $AC = 4$, a przeciwprostokątna to $BC = 2\sqrt{13}$, więc:
$$\sin\beta = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{2\sqrt{13}} = \frac{2}{\sqrt{13}}$$
Weryfikacja odpowiedzi
- Odpowiedź A) $\dfrac{4}{5}$ – błędna. Wartość $\dfrac{4}{5}$ to $\sin\alpha$ (w trójkącie $ACD$: $\sin\angle ADC = \dfrac{AC}{CD} = \dfrac{4}{5}$), a nie $\sin\beta$.
- Odpowiedź B) $\dfrac{2}{\sqrt{13}}$ – poprawna, co wykazano powyżej.
- Odpowiedź C) $\dfrac{3}{\sqrt{13}}$ – błędna. Byłoby to $\dfrac{AD}{BC} = \dfrac{3}{2\sqrt{13}}$ (po uproszczeniu), co nie odpowiada żadnemu naturalnemu stosunkowi boków w tym trójkącie. Można ją otrzymać błędnie, mylnie przyjmując $AC = 3$.
- Odpowiedź D) $\dfrac{5}{2\sqrt{13}}$ – błędna. Wartość $\dfrac{5}{2\sqrt{13}} = \dfrac{CD}{BC}$, co nie ma interpretacji jako sinus kąta $\beta$ w tym trójkącie.
Wynik końcowy
$$\boxed{\sin\beta = \dfrac{2}{\sqrt{13}}}$$
Poprawna odpowiedź: B
