Rozwiązanie
Dany jest trójkąt prostokątny $ABC$, w którym kąt prosty jest przy wierzchołku $A$ (bo $BC$ jest przeciwprostokątną), $AB = 6$, a $CD$ jest środkową poprowadzoną z wierzchołka $C$ do boku $AB$.
-
Krok 1: Ustalenie położenia punktu D
Środkowa $CD$ jest poprowadzona z wierzchołka $C$ do boku $AB$, więc $D$ jest środkiem boku $AB$. Zatem:
$$AD = DB = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3$$
-
Krok 2: Wyznaczenie długości AC
Kąt przy $A$ jest prosty, więc trójkąt $ACD$ jest prostokątny z kątem prostym przy $A$. Znamy $CD = 5$ oraz $AD = 3$. Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie $ACD$:
$$CD^2 = AC^2 + AD^2$$
$$25 = AC^2 + 9$$
$$AC^2 = 16 \implies AC = 4$$
-
Krok 3: Obliczenie $\tan \alpha$
Kąt $\alpha = \angle ADC$ leży w trójkącie $ACD$, w którym kąt przy $A$ jest prosty. Patrząc na kąt $\alpha$ przy wierzchołku $D$:
- przyprostokątna naprzeciwko kąta $\alpha$ to $AC = 4$,
- przyprostokątna przyległa do kąta $\alpha$ to $AD = 3$.
$$\tan \alpha = \frac{AC}{AD} = \frac{4}{3}$$
-
Krok 4: Analiza odpowiedzi
Odpowiedź C) $\dfrac{4}{3}$ — POPRAWNA. Wynika bezpośrednio z obliczonego stosunku $\dfrac{AC}{AD} = \dfrac{4}{3}$.
Odpowiedź A) $\dfrac{2}{3}$ — BŁĘDNA. Mogłaby powstać przez pomyłkowe użycie wartości $AC = 2$ zamiast $AC = 4$, lub błędne zastosowanie proporcji.
Odpowiedź B) $\dfrac{3}{4}$ — BŁĘDNA. Jest to wartość $\tan(\angle ACD)$, czyli tangens drugiego kąta ostrego w trójkącie $ACD$ — wynik odwrotności prawidłowego stosunku (zamieniono licznik z mianownikiem).
Odpowiedź D) $\dfrac{4}{5}$ — BŁĘDNA. Jest to wartość $\sin \alpha = \dfrac{AC}{CD} = \dfrac{4}{5}$, czyli sinus kąta $\alpha$, nie tangens.
Wynik końcowy:
$$\tan \alpha = \frac{4}{3}$$
Poprawna odpowiedź: C)
