Rozwiązanie

Należy uprościć wyrażenie $(3x + 2)^2 - (2x - 3)^2$, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia.

1. Krok 1: Rozwinięcie kwadratów metodą wzoru $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ oraz $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

   Rozwijamy pierwszy składnik:

   $$(3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4$$

   Rozwijamy drugi składnik:

   $$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$$
2. Krok 2: Obliczenie różnicy

   Odejmujemy drugie wyrażenie od pierwszego (uwaga na zmianę znaków po nawiasie):

   $$(3x + 2)^2 - (2x - 3)^2 = (9x^2 + 12x + 4) - (4x^2 - 12x + 9)$$ $$= 9x^2 + 12x + 4 - 4x^2 + 12x - 9$$
3. Krok 3: Porządkowanie wyrazów podobnych $$= (9x^2 - 4x^2) + (12x + 12x) + (4 - 9)$$ $$= 5x^2 + 24x - 5$$

Analiza odpowiedzi

• Odpowiedź A) $5x^2 - 5$ — błędna. Brakuje wyrazu liniowego $24x$. Błąd polegałby na pominięciu wyrazów z $x$ przy odejmowaniu.
• Odpowiedź B) $5x^2 + 13$ — błędna. Brakuje wyrazu liniowego $24x$, a wyraz wolny jest nieprawidłowy ($4 + 9 = 13$ zamiast $4 - 9 = -5$). Błąd polegałby na dodaniu zamiast odjęcia drugiego kwadratu.
• Odpowiedź C) $5x^2 + 24x - 13$ — błędna. Wyraz liniowy $24x$ jest poprawny, lecz wyraz wolny jest nieprawidłowy ($-13$ zamiast $-5$). Błąd polegałby na obliczeniu wyrazu wolnego jako $4 - 9 - 8 = -13$, co wynikałoby z nieprawidłowego rozwinięcia kwadratów.
• Odpowiedź D) $5x^2 + 24x - 5$ — poprawna. Wynik zgodny z obliczeniami: $9x^2 - 4x^2 = 5x^2$, $12x + 12x = 24x$, $4 - 9 = -5$.

Wynik końcowy

$$(3x + 2)^2 - (2x - 3)^2 = 5x^2 + 24x - 5$$

Odpowiedź: D