Rozwiązanie
Krok 1. Przekształcenie wyrażenia z użyciem własności logarytmów
Korzystamy z własności logarytmów: $n \log_a b = \log_a b^n$, aby uprościć drugi składnik:
$$2\log_3 2 = \log_3 2^2 = \log_3 4$$
Krok 2. Zastosowanie własności odejmowania logarytmów
Korzystamy z własności: $\log_a x - \log_a y = \log_a \dfrac{x}{y}$:
$$\log_3 108 - \log_3 4 = \log_3 \frac{108}{4} = \log_3 27$$
Krok 3. Obliczenie wartości logarytmu
Ponieważ $27 = 3^3$, otrzymujemy:
$$\log_3 27 = \log_3 3^3 = 3$$
Analiza odpowiedzi:
- Odpowiedź A) $\log_3 104$ — BŁĘDNA. Błąd polega na prostym odejmowaniu argumentu: $108 - 4 = 104$, co jest niedopuszczalną operacją na logarytmach. Logarytm różnicy nie jest różnicą argumentów.
- Odpowiedź B) $2\log_3 54$ — BŁĘDNA. Wyrażenie $2\log_3 54 = \log_3 54^2 = \log_3 2916$, co jest wartością zupełnie różną od $\log_3 27 = 3$.
- Odpowiedź C) $3$ — POPRAWNA. Jak wykazano powyżej: $\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 27 = 3$.
- Odpowiedź D) $9$ — BŁĘDNA. Mogłaby sugerować pomylenie wyniku $3$ z $3^2 = 9$, jednak obliczenia jednoznacznie dają wartość $3$, nie $9$.
Wynik końcowy:
$$\log_3 108 - 2\log_3 2 = \log_3 27 = \boxed{3}$$
Poprawna odpowiedź to C).