W zadaniu wykorzystujemy relatywistyczny wzór na energię kinetyczną cząstki:
$$E_k = (\gamma - 1)E_0$$
gdzie $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}$ jest czynnikiem Lorentza, a $E_0 = m_0 c^2$ jest energią spoczynkową cząstki.
-
Obliczenie czynnika Lorentza $\gamma$ dla $v = \dfrac{1}{2}c$
Podstawiamy $v = \dfrac{c}{2}$ do wzoru na czynnik Lorentza:
$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{\left(\dfrac{c}{2}\right)^2}{c^2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{1}{4}}} = \frac{1}{\sqrt{\dfrac{3}{4}}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$$
$$\gamma = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx \frac{2}{1{,}7321} \approx 1{,}1547$$
-
Wyznaczenie energii spoczynkowej $E_0$ ze wzoru na energię kinetyczną
Korzystamy ze wzoru $E_k = (\gamma - 1)E_0$, skąd:
$$E_0 = \frac{E_k}{\gamma - 1}$$
Obliczamy $\gamma - 1$:
$$\gamma - 1 = \frac{2}{\sqrt{3}} - 1 = \frac{2 - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \approx 1{,}1547 - 1 = 0{,}1547$$
-
Podstawienie wartości liczbowych
$$E_0 = \frac{E_k}{\gamma - 1} = \frac{79{,}05 \text{ keV}}{0{,}1547}$$
$$E_0 = \frac{79{,}05}{0{,}1547} \text{ keV} \approx 511{,}0 \text{ keV}$$
-
Weryfikacja wyniku
Wartość $E_0 \approx 511 \text{ keV}$ odpowiada dokładnie energii spoczynkowej elektronu (lub pozytonu), która wynosi $m_e c^2 = 511 \text{ keV}$. Wynik jest fizycznie sensowny.
Wynik końcowy:
$$\boxed{E_0 \approx 511 \text{ keV}}$$