Rozwiązanie
-
Krok 1: Przypomnienie poziomów energetycznych atomu wodoru
Energia elektronu na $n$-tym poziomie atomu wodoru wynosi:
$$E_n = -\frac{13{,}6 \text{ eV}}{n^2}$$
Obliczamy energie dla poziomów $n = 3$, $n = 4$ oraz $n = 5$:
$$E_3 = -\frac{13{,}6}{9} \approx -1{,}511 \text{ eV}$$
$$E_4 = -\frac{13{,}6}{16} \approx -0{,}850 \text{ eV}$$
$$E_5 = -\frac{13{,}6}{25} \approx -0{,}544 \text{ eV}$$
-
Krok 2: Obliczenie energii emitowanych fotonów
Energia fotonu emitowanego podczas przejścia między poziomami równa się różnicy energii tych poziomów:
$$E_\text{fotonu} = E_\text{wyższy} - E_\text{niższy}$$
Dla przejścia $5 \to 3$:
$$E_{53} = E_5 - E_3 = (-0{,}544) - (-1{,}511) = 0{,}967 \text{ eV}$$
Dla przejścia $4 \to 3$:
$$E_{43} = E_4 - E_3 = (-0{,}850) - (-1{,}511) = 0{,}661 \text{ eV}$$
Zatem:
$$E_{53} \approx 0{,}967 \text{ eV} > E_{43} \approx 0{,}661 \text{ eV}$$
-
Krok 3: Wyznaczenie relacji między długościami fal
Energia fotonu i długość fali są związane wzorem:
$$E = \frac{hc}{\lambda} \implies \lambda = \frac{hc}{E}$$
Długość fali jest odwrotnie proporcjonalna do energii fotonu. Skoro $E_{53} > E_{43}$, to:
$$\lambda_{53} = \frac{hc}{E_{53}} \lt \frac{hc}{E_{43}} = \lambda_{43}$$
Czyli $\lambda_{53} \lt \lambda_{43}$.
Można to zrozumieć intuicyjnie: przejście $5 \to 3$ obejmuje większą „skocznię" energetyczną niż $4 \to 3$, więc emitowany foton ma większą energię i krótszą długość fali.
-
Krok 4: Ocena odpowiedzi
Odpowiedzi dotyczące długości fali:
- A. $\lambda_{53} > \lambda_{43}$ — błędna: większa energia fotonu oznacza krótszą, a nie dłuższą falę.
- B. $\lambda_{53} \lt \lambda_{43}$ — poprawna: foton z przejścia $5 \to 3$ ma większą energię, więc ma krótszą długość fali.
- C. $\lambda_{53} = \lambda_{43}$ — błędna: energie obu fotonów są różne, więc długości fal również muszą być różne.
Odpowiedzi dotyczące energii:
- 1. $E_{53} > E_{43}$ — poprawna: przejście z poziomu 5 do 3 odpowiada większej różnicy energii niż przejście z 4 do 3.
- 2. $E_{53} \lt E_{43}$ — błędna: poziom $n=5$ leży wyżej niż $n=4$, więc różnica energii do poziomu $n=3$ jest większa dla przejścia $5\to3$.
- 3. $E_{53} = E_{43}$ — błędna: $E_5 \neq E_4$, więc energie emitowanych fotonów są różne.
Wynik końcowy:
Poprawna odpowiedź to B oraz 1.
$$\boxed{\lambda_{53} \lt \lambda_{43} \quad \text{oraz} \quad E_{53} > E_{43}}$$