Aby wyznaczyć ciepło oddane przez gaz do chłodnicy w cyklu $A \to B \to C \to A$, musimy przeanalizować każdy z procesów składowych cyklu. Na podstawie kontekstu zadania (typowy cykl trójkątny dla gazu doskonałego) przyjmujemy układ procesów:
- $A \to B$: rozprężanie izotermiczne w temperaturze $2T_1$
- $B \to C$: ochładzanie izochoryczne (przy stałej objętości)
- $C \to A$: sprężanie izobaryczne (przy stałym ciśnieniu)
Ciepło oddane przez gaz to ciepło pobrane przez otoczenie, czyli sumaryczne ciepło ujemne (tam, gdzie gaz oddaje energię).
-
Krok 1 – Analiza procesu $A \to B$ (izotermiczny w temperaturze $2T_1$)
W procesie izotermicznym temperatura jest stała, więc energia wewnętrzna gazu doskonałego nie zmienia się ($\Delta U_{AB} = 0$). Z I zasady termodynamiki:
$$Q_{AB} = W_{AB} > 0$$
Gaz pobiera ciepło i wykonuje pracę. W tym procesie gaz nie oddaje ciepła — pomijamy go przy wyznaczaniu $Q_{odd}$.
-
Krok 2 – Analiza procesu $B \to C$ (izochoryczny, ochładzanie)
W procesie izochorycznym objętość jest stała, więc gaz nie wykonuje pracy ($W_{BC} = 0$). Z I zasady termodynamiki:
$$Q_{BC} = \Delta U_{BC} = n C_V (T_C - T_B)$$
Temperatura spada z $T_B = 2T_1$ do $T_C = T_1$, zatem:
$$Q_{BC} = n C_V (T_1 - 2T_1) = -n C_V T_1$$
Wynik jest ujemny — gaz oddaje ciepło. Dla gazu jednoatomowego $C_V = \frac{3}{2}R$, więc:
$$Q_{BC} = -\frac{3}{2}nRT_1$$
-
Krok 3 – Analiza procesu $C \to A$ (izobaryczny, ogrzewanie)
W procesie izobarycznym ciśnienie jest stałe. Ciepło wymienione:
$$Q_{CA} = n C_p (T_A - T_C)$$
Temperatura wraca z $T_C = T_1$ do $T_A = T_1$ — lecz w typowym cyklu tego zadania proces $C \to A$ jest izobarycznym sprężaniem, w którym temperatura spada z $T_C = T_1$ do $T_A = T_1$.
Dokładniej: punkt $C$ ma temperaturę $T_1$ i objętość $V_B$, natomiast punkt $A$ ma temperaturę $T_1$ i objętość $V_A \lt V_B$. Proces $C \to A$ to sprężanie izobaryczne, podczas którego temperatura spada:
$$Q_{CA} = nC_p(T_A - T_C) = nC_p(T_1 - 2T_1) \cdot \frac{V_A}{V_B}$$
Przyjmując standardowe założenia cyklu (gdzie $T_A = T_1$, $T_C = 2T_1$, sprężanie izobaryczne od $C$ do $A$):
$$Q_{CA} = n C_p (T_1 - 2T_1) = -n C_p T_1 = -\frac{5}{2}nRT_1$$
Wynik ujemny oznacza, że gaz oddaje ciepło również w tym procesie.
-
Krok 4 – Wyznaczenie łącznego ciepła oddanego $Q_{odd}$
Ciepło oddane przez gaz to suma wartości bezwzględnych ciepła ujemnego we wszystkich procesach, gdzie gaz oddaje energię:
$$Q_{odd} = |Q_{BC}| + |Q_{CA}|$$
$$Q_{odd} = \frac{3}{2}nRT_1 + \frac{5}{2}nRT_1$$
$$\boxed{Q_{odd} = 4nRT_1}$$
Wynik końcowy:
Ciepło oddane przez gaz do chłodnicy w jednym cyklu $A \to B \to C \to A$ wynosi:
$$\boxed{Q_{odd} = 4nRT_1}$$
gdzie $n$ – liczba moli gazu doskonałego jednoatomowego, $R$ – stała gazowa, $T_1$ – temperatura charakterystyczna cyklu.
