Aby rozwiązać zadanie, należy przeanalizować cykl przemian A → B → C → A z kontekstu zadania 6 (PR 2025). Przyjmujemy dane z treści całego zadania:
- Stan A: ciśnienie $p_A = p_1$, objętość $V_A = V_1$, temperatura $T_A = T_1$
- Przemiana A → B: izochoryczna (stała objętość), ciśnienie wzrasta dwukrotnie: $p_B = 2p_1$
- Przemiana B → C: izobaryczna (stałe ciśnienie $p_B = 2p_1$), temperatura spada do $T_1$
- Przemiana C → A: izotermiczna (stała temperatura $T_1$)
- Stan X: punkt przecięcia przemiany izotermicznej C → A z prostą $p = p_1$ (lub punkt charakterystyczny wskazany na wykresie)
Wyznaczenie $V_B$, $V_C$, $V_X$
-
Krok 1 – Stan B (przemiana A → B jest izochoryczna)
Podczas przemiany izochorycznej objętość gazu się nie zmienia:
$$V_B = V_A = V_1$$
Wynik: $\boxed{V_B = V_1}$
-
Krok 2 – Stan C (przemiana B → C jest izobaryczna)
Podczas przemiany izobarycznej zachodzi prawo Charlesa (Gay-Lussaca):
$$\frac{V_B}{T_B} = \frac{V_C}{T_C}$$
Temperatura w stanie B wyznaczamy ze stanu A, korzystając z przemiany izochorycznej A → B (prawo Gay-Lussaca):
$$\frac{p_A}{T_A} = \frac{p_B}{T_B} \implies \frac{p_1}{T_1} = \frac{2p_1}{T_B} \implies T_B = 2T_1$$
Temperatura w stanie C: przemiana B → C izobaryczna kończy się w temperaturze $T_C = T_1$ (bo przemiana C → A jest izotermiczna w temperaturze $T_1$). Podstawiamy:
$$\frac{V_B}{T_B} = \frac{V_C}{T_C} \implies \frac{V_1}{2T_1} = \frac{V_C}{T_1}$$
$$V_C = \frac{V_1 \cdot T_1}{2T_1} = \frac{V_1}{2}$$
Wynik: $\boxed{V_C = \dfrac{V_1}{2}}$
-
Krok 3 – Stan X (punkt charakterystyczny na przemianie C → A)
Przemiana C → A jest izotermiczna ($T = T_1 = \text{const}$), więc zachodzi prawo Boyle'a–Mariotte'a:
$$p_C \cdot V_C = p \cdot V = \text{const}$$
Ciśnienie w stanie C: $p_C = p_B = 2p_1$ (przemiana B → C była izobaryczna).
Stan X leży na krzywej izotermicznej C → A w miejscu, gdzie ciśnienie wynosi $p_X = p_1$ (przecięcie z poziomem ciśnienia $p_1$, czyli powrót do wyjściowego ciśnienia). Stosujemy prawo Boyle'a między stanem C i X:
$$p_C \cdot V_C = p_X \cdot V_X$$
$$2p_1 \cdot \frac{V_1}{2} = p_1 \cdot V_X$$
$$p_1 \cdot V_1 = p_1 \cdot V_X$$
$$V_X = V_1$$
Wynik: $\boxed{V_X = V_1}$
Uwaga: Stan X pokrywa się z objętością $V_1$, ale leży na krzywej hiperbolicznej między C i A – jest to punkt, w którym izotermiczna krzywa C → A przechodzi przez poziom $p = p_1$, co potwierdza powrót do stanu A.
-
Krok 4 – Wykres p(V) dla cyklu A → B → C → A
Na podstawie wyznaczonych stanów:
- A: $(V_1,\ p_1)$
- B: $(V_1,\ 2p_1)$
- C: $\left(\dfrac{V_1}{2},\ 2p_1\right)$
- X: $(V_1,\ p_1)$ — punkt na krzywej izotermicznej C → A przy $p = p_1$ (tożsamy z A, zaznaczany na krzywej)
Opis wykresu (szkic słowny):
- A → B: pionowy odcinek w górę przy $V = V_1$ (izochora), od $p_1$ do $2p_1$
- B → C: poziomy odcinek w lewo przy $p = 2p_1$ (izobara), od $V_1$ do $\frac{V_1}{2}$
- C → A: hiperbola $p = \frac{p_1 V_1}{V}$ (izotermiczna), od $C\!\left(\frac{V_1}{2}, 2p_1\right)$ do $A(V_1, p_1)$; punkt X leży na tej krzywej
Podsumowanie wyników
$$V_B = V_1, \qquad V_C = \frac{V_1}{2}, \qquad V_X = V_1$$
