Rozwiązanie dotyczy walca W2 toczącego się po pochyłości pod kątem β, gdzie siła tarcia statycznego jest proporcjonalna do normalnej reakcji podłoża: $F_t = k_2 \cdot N$.
-
Krok 1 – Siły działające na walec W2
Na walec działają:
- składowa siły grawitacji wzdłuż pochyłości: $mg\sin\beta$ (w dół)
- normalna reakcja podłoża: $N = mg\cos\beta$
- siła tarcia statycznego: $F_t = k_2 \cdot N = k_2 \cdot mg\cos\beta$ (skierowana w górę pochyłości – umożliwia toczenie)
-
Krok 2 – Równanie ruchu postępowego (II zasada Newtona wzdłuż pochyłości)
Przyjmując kierunek w dół pochyłości jako dodatni:
$$mg\sin\beta - F_t = ma$$
$$mg\sin\beta - k_2 \cdot mg\cos\beta = ma$$
-
Krok 3 – Równanie ruchu obrotowego względem osi walca
Moment siły tarcia (jedyna siła powodująca obrót) względem osi symetrii walca o promieniu $R$ i momencie bezwładności $I$:
$$F_t \cdot R = I \cdot \varepsilon$$
Warunek toczenia bez poślizgu łączy przyspieszenie liniowe $a$ z przyspieszeniem kątowym $\varepsilon$:
$$a = \varepsilon \cdot R \implies \varepsilon = \frac{a}{R}$$
Zatem:
$$k_2 \cdot mg\cos\beta \cdot R = I \cdot \frac{a}{R}$$
-
Krok 4 – Wyznaczenie siły tarcia z równania obrotowego
Dla walca jednorodnego moment bezwładności wynosi $I = \frac{1}{2}mR^2$. Podstawiając:
$$k_2 \cdot mg\cos\beta \cdot R = \frac{1}{2}mR^2 \cdot \frac{a}{R} = \frac{1}{2}mRa$$
$$k_2 \cdot g\cos\beta = \frac{a}{2}$$
Stąd siła tarcia wyraża się przez przyspieszenie:
$$F_t = \frac{ma}{2}$$
co oznacza, że warunek $F_t = k_2 mg\cos\beta$ wraz z równaniem obrotowym jest wewnętrznie spójny i determinuje wartość $a$.
-
Krok 5 – Wyznaczenie przyspieszenia $a$
Wracamy do równania ruchu postępowego z Kroku 2 i podstawiamy $F_t = \frac{ma}{2}$:
$$mg\sin\beta - \frac{ma}{2} = ma$$
$$mg\sin\beta = ma + \frac{ma}{2} = \frac{3ma}{2}$$
$$a = \frac{2g\sin\beta}{3}$$
Uwaga: Powyższe jest wynikiem dla walca jednorodnego wyznaczonym z obu równań. Zadanie wymaga jednak wyrażenia $a$ przez $k_2$, dlatego korzystamy bezpośrednio z równania postępowego bez eliminowania $F_t$ przez równanie obrotowe:
$$mg\sin\beta - k_2 \cdot mg\cos\beta = ma$$
$$a = g\sin\beta - k_2 \cdot g\cos\beta$$
Wynik końcowy:
$$\boxed{a = g\left(\sin\beta - k_2\cos\beta\right)}$$
Przyspieszenie liniowe walca W2 wynosi $a = g(\sin\beta - k_2\cos\beta)$. Pierwsza składowa ($g\sin\beta$) pochodzi od napędzającej składowej grawitacji, natomiast odjęta składowa ($k_2 g\cos\beta$) odpowiada sile tarcia statycznego hamującej ruch postępowy, a jednocześnie wprawiającej walec w obrót.
