Dany jest jednorodny pełny walec W1 oraz wydrążony częściowo (i osiowosymetrycznie) jednorodny walec W2. Walec W1 położono na równi pochyłej i puszczono swobodnie. Następnie na tej samej wysokości na tej równi położono walec W2 i także puszczono swobodnie. Prędkości początkowe obu walców były równe zero. Walce W1 oraz W2 staczały się z równi bez poślizgu. Kąt nachylenia równi do poziomego podłoża wynosi $\beta$.
Momenty bezwładności: $I_1 = k_1 m R^2$ oraz $I_2 = k_2 m R^2$, gdzie $k_1 \neq k_2$.
Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Zaznacz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
$k_2 > k_1$
U podnóża równi całkowite energie kinetyczne walców W1 i W2 są sobie równe.
U podnóża równi wartość prędkości ruchu postępowego walca W1 jest mniejsza od wartości prędkości ruchu postępowego walca W2.
P/P/P1. P, 2. P, 3. P
P/P/F1. P, 2. P, 3. F
P/F/P1. P, 2. F, 3. P
P/F/F1. P, 2. F, 3. F
F/P/P1. F, 2. P, 3. P
F/P/F1. F, 2. P, 3. F
F/F/P1. F, 2. F, 3. P
F/F/F1. F, 2. F, 3. F
🎓 Wzorcowe rozwiązanie krok po kroku
Rozwiązanie – Zadanie 2.1
Analiza toczenia walców bez poślizgu po równi pochyłej
Krok 1: Równanie ruchu walca toczącego się bez poślizgu po równi pochyłej
Dla walca toczącego się bez poślizgu zachodzi więź kinematyczna między prędkością środka masy $v$ a prędkością kątową $\omega$:
$$v = \omega R$$
Całkowita energia kinetyczna walca (suma translacyjnej i rotacyjnej) wynosi:
Oba walce startują z tej samej wysokości $h$ z prędkością zerową. Na podstawie zasady zachowania energii (brak poślizgu oznacza brak strat na tarcie kinetyczne):
$$mgh = \frac{1}{2}mv^2(1+k)$$
Stąd prędkość środka masy u podnóża równi:
$$v = \sqrt{\frac{2gh}{1+k}}$$
Krok 3: Ocena pierwszego stwierdzenia – „$k_2 > k_1$"
Walec W1 jest pełny, natomiast walec W2 jest wydrążony osiowosymetrycznie – masa jest bardziej oddalona od osi obrotu niż w walcu pełnym.
Moment bezwładności walca pełnego: $I = \frac{1}{2}mR^2$, czyli $k_1 = \frac{1}{2}$.
W walcu wydrążonym masa jest skupiona dalej od osi, więc moment bezwładności jest większy niż dla walca pełnego, co oznacza:
$$k_2 > k_1$$
Stwierdzenie jest PRAWDZIWE (P).
Krok 4: Ocena drugiego stwierdzenia – „Całkowite energie kinetyczne walców W1 i W2 u podnóża są sobie równe"
Z zasady zachowania energii dla każdego walca:
$$E_{k1} = mgh, \qquad E_{k2} = mgh$$
Obie energie kinetyczne są równe energii potencjalnej, z której się zamieniają. Ponieważ oba walce mają tę samą masę $m$ i startują z tej samej wysokości $h$:
$$E_{k1} = E_{k2} = mgh$$
Podział na ruch postępowy i obrotowy jest różny, ale suma jest identyczna.
Stwierdzenie jest PRAWDZIWE (P).
Krok 5: Ocena trzeciego stwierdzenia – „Prędkość postępowa W1 jest mniejsza od prędkości postępowej W2"
Walec o większym momencie bezwładności (W2) „wkłada" więcej energii w obrót kosztem translacji, więc porusza się wolniej postępowo. Prędkość postępowa W1 jest zatem większa, nie mniejsza, od prędkości W2.
Stwierdzenie jest FAŁSZYWE (F).
Wynik końcowy
Stwierdzenie
Ocena
$k_2 > k_1$
P (Prawda)
Całkowite energie kinetyczne u podnóża są sobie równe
P (Prawda)
Prędkość postępowa W1 jest mniejsza od prędkości postępowej W2
Załóż bezpłatne konto i otwórz dostęp do pełnego śledzenia postępów, planów nauki i quizów. Arkusze i zadania podstawowe są dostępne bez rejestracji. Już ponad 5 000 uczniów uczy się z Matematix.
