Krok 1 — zapis liczby trzycyfrowej. Liczba o cyfrach $a$, $b$, $c$ to:

$$N=100a+10b+c$$

Krok 2 — rozbijamy na część podzielną przez $9$ i sumę cyfr:

$$N=(99a+9b)+(a+b+c)=9(11a+b)+(a+b+c)$$

Krok 3 — wnioskowanie. Składnik $9(11a+b)$ zawsze dzieli się przez $9$. Zatem $N$ dzieli się przez $9$ dokładnie wtedy, gdy dzieli się przez $9$ pozostała część, czyli suma cyfr $a+b+c$. $\qquad ∎$

Uogólnienie. To samo rozumowanie działa dla dowolnej liczby cyfr — bo $10^k$ zawsze daje resztę $1$ przy dzieleniu przez $9$. Stąd znana cecha podzielności przez $9$.

Sprawdzenie: $531$ dzieli się przez $9$, a $5+3+1=9$ też ✔