Krok 1 — oznaczamy: $x=0{,}999\ldots$

Krok 2 — mnożymy przez $10$:

$$10x=9{,}999\ldots$$

Krok 3 — odejmujemy stronami. Nieskończone ogony się skracają:

$$10x-x=9 \quad\Rightarrow\quad 9x=9 \quad\Rightarrow\quad x=1$$

Wniosek. Zatem $0{,}(9)=1$ — to nie przybliżenie, lecz dokładna równość. $\qquad ∎$

Interpretacja. Ta sama liczba może mieć dwa zapisy dziesiętne: $1{,}000\ldots$ oraz $0{,}999\ldots$ To słynny, zaskakujący wynik, ale w pełni poprawny.