Oznaczenia. Niech $AB$ będzie średnicą okręgu o środku $O$, a $C$ dowolnym punktem okręgu. Chcemy pokazać, że kąt $ACB=90^\circ$.

Krok 1 — trójkąty równoramienne. Odcinki $OA$, $OB$, $OC$ to promienie, więc są równe. Trójkąty $OAC$ i $OBC$ są równoramienne.

Krok 2 — oznaczamy kąty przy podstawach. Niech $\angle OAC=\alpha$ i $\angle OBC=\beta$. Z równoramienności:

$$\angle OCA=\alpha,\qquad \angle OCB=\beta$$

Krok 3 — suma kątów trójkąta $ABC$:

$$\alpha+\beta+(\alpha+\beta)=180^\circ$$

bo kąt przy $C$ to $\angle OCA+\angle OCB=\alpha+\beta$.

Krok 4 — rozwiązujemy:

$$2(\alpha+\beta)=180^\circ \quad\Rightarrow\quad \alpha+\beta=90^\circ$$

Kąt przy $C$ wynosi $\alpha+\beta=90^\circ$. $\qquad ∎$

Wniosek: każdy kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty, niezależnie od położenia punktu $C$ na okręgu.