Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\), możemy rozpisać naszą liczbę w następujący sposób:
$$n^2+(n+1)^2+(n+2)^2=$$
$$=n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4=$$
$$=3n^2+6n+5$$
Teraz kluczem do sukcesu będzie dostrzeżenie, że liczbę \(5\) można rozbić na sumę \(3+2\), otrzymując:
$$3n^2+6n+3+2=$$
$$=3\cdot(n^2+2n+1)+2=$$
$$=3\cdot(n+1)^2+2$$
\((n+1)^2\) jest na pewno dodatnią liczbą całkowitą. Otrzymany wynik oznacza więc, że liczba jest podzielna przez \(3\), a stojące na końcu \(+2\) pokazuje nam, że reszta z tego dzielenia będzie równa właśnie \(2\), co należało udowodnić.