Zadanie 52 Zbiór zadań maturalnych - CKE (Formuła 2023) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Obliczenie pól powierzchni poszczególnych ścian ostrosłupa.
Na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa \(ABDE\) składają się trzy trójkąty prostokątne \(ABD\), \(ABE\) oraz \(ADE\), a także trójkąt równoboczny \(BDE\). Obliczmy najpierw pole każdego z trójkątów prostokątnych.

Trójkąty prostokątne mają przyprostokątne o długości \(a\), czyli ich pole powierzchni będzie równe:
$$P_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot a$$ $$P_{ABD}=\frac{1}{2}a^2$$

Trójkąt równoboczny ma bok o długości przekątnej podstawy. W podstawie sześcianu mamy oczywiście kwadrat, a z własności kwadratów wiemy, że kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). To oznacza, że nasz trójkąt równoboczny ma bok o długości \(a\sqrt{2}\). Korzystając zatem ze wzoru na pole trójkąta równobocznego możemy zapisać, że:
$$P_{BDE}=\frac{(a\sqrt{2})^2\cdot\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{BDE}=\frac{a^2\cdot2\cdot\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{BDE}=\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$

Krok 2. Obliczenie pola powierzchni ostrosłupa.
$$P_{c}=3\cdot\frac{1}{2}a^2+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$ $$P_{c}=\frac{3a^2}{2}+\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$ $$P_{c}=\frac{3a^2+a^2\sqrt{3}}{2}$$ $$P_{c}=\frac{a^2\cdot(3+\sqrt{3})}{2}$$