📄 Treść zadania
Funkcja kwadratowa \(f\) określona jest wzorem \(f(x)=-x^2+2x+3\). Funkcja liniowa \(g\) określona jest wzorem \(g(x)=-x+5\). Oblicz współrzędne punktów, w których przecinają się wykresy funkcji \(y=f(x)\) oraz funkcji \(y=g(x)\).
Krok 1. Ułożenie i rozwiązanie układu równań.
Z geometrycznej interpretacji układu równań wiemy, że chcąc poznać współrzędne punktów przecięcia się wykresów, wystarczy rozwiązać następujący układ równań:
\begin{cases} y=-x^2+2x+3 \\ y=-x+5 \end{cases}
Korzystając z metody podstawiania, otrzymamy:
$$-x^2+2x+3=-x+5$$
$$-x^2+3x-2=0$$
Krok 2. Rozwiązanie powstałego równania kwadratowego.
Powstało nam równanie kwadratowe, które musimy teraz rozwiązać.
Współczynniki: \(a=-1,\;b=3,\;c=-2\)
$$Δ=b^2-4ac=3^2-4\cdot(-1)\cdot(-2)=9-8=1$$
$$\sqrt{Δ}=\sqrt{1}=1$$
$$x_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3-1}{2\cdot(-1)}=\frac{-4}{-2}=2$$
$$x_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-3+1}{2\cdot(-1)}=\frac{-2}{-2}=1$$
Krok 3. Wyznaczenie współrzędnych punktów przecięcia się wykresów funkcji.
Otrzymaliśmy dwie różne współrzędne \(x\) i jest to sytuacja jak najbardziej poprawna, ponieważ te dwa wykresy przetną się w dwóch miejscach. Obliczmy teraz współrzędne \(y\) dla każdego z punktów. W tym celu podstawmy np. do równania \(y=-x+5\) wyliczone współrzędne \(x\).
Gdy \(x=2\), to:
\(y=-2+5\)
\(y=3\)
Gdy \(x=1\), to:
\(y=-1+5\)
\(y=4\)
To oznacza, że te wykresy przecinają się w punktach \((2;3)\) oraz \((1;4)\).