Zadanie 44 Zbiór zadań maturalnych - CKE (Formuła 2023) — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Zapisanie pól powierzchni trapezów.
Wprowadźmy oznaczenia pól powierzchni dwóch trapezów jako \(P_{1}\) oraz \(P_{2}\), tak jak na rysunku:


Pole \(P_{1}\) będzie różnicą między polem trójkąta równobocznego o boku \(a\) i pola trójkąta równobocznego o boku \(b\). Korzystając zatem ze wzoru na pole trójkąta równobocznego moglibyśmy zapisać, że:
$$P_{1}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}-\frac{b^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{1}=\frac{a^2\sqrt{3}-b^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{1}=\frac{(a^2-b^2)\sqrt{3}}{4}$$

I analogicznie, pole trapezu \(P_{2}\) to różnica między polem trójkąta równobocznego o boku \(b\) i trójkąta równobocznego o boku \(c\), zatem:
$$P_{2}=\frac{b^2\sqrt{3}}{4}-\frac{c^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{2}=\frac{b^2\sqrt{3}-c^2\sqrt{3}}{4}$$ $$P_{2}=\frac{(b^2-c^2)\sqrt{3}}{4}$$

Krok 2. Obliczenie stosunku pól powierzchni.
Celem zadania jest wyznaczenie stosunku pola powierzchni \(P_{2}\) względem \(P_{1}\), zatem:
$$\frac{P_{2}}{P_{1}}=\frac{\frac{(b^2-c^2)\sqrt{3}}{4}}{\frac{(a^2-b^2)\sqrt{3}}{4}}=\frac{(b^2-c^2)\sqrt{3}}{4}\cdot\frac{4}{(a^2-b^2)\sqrt{3}}=\frac{b^2-c^2}{a^2-b^2}$$

Otrzymaliśmy dokładnie taką samą postać jak w treści zadania, zatem dowodzenie możemy uznać za zakończone.