📄 Treść zadania
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\neq1\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność:
$$x^2+y^2+5\gt2x+4y$$
Krok 1. Przekształcenie podanej nierówności.
Przenosząc wyrazy z prawej strony na lewą oraz dokonując pewnych przekształceń, otrzymamy taką oto postać:
$$x^2+y^2+5\gt2x+4y$$
$$x^2+y^2+5-2x-4y\gt0$$
$$x^2+y^2+1+4-2x-4y\gt0$$
$$x^2-2x+1+y^2-4y+4\gt0$$
Teraz, korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, możemy "zwinąć" wyrażenie \(x^2-2x+1\) do postaci \((x-1)^2\) oraz wyrażenie \(y^2-4y+4\) do postaci \((y-2)^2\). Otrzymamy zatem taką oto nierówność:
$$(x-1)^2+(y-2)^2\gt0$$
Krok 2. Zakończenie dowodzenia.
Z treści zadania wiemy, że \(x\neq1\), a to oznacza, że wartość \(x-1\) jest różna od zera. Jakakolwiek liczba różna od zera podniesiona do kwadratu daje dodatni wynik, stąd też na pewno \((x-1)^2\) jest większe od zera.
Spójrzmy teraz na składnik \((y-2)^2\). Analogicznie moglibyśmy powiedzieć, że to wyrażenie jest na pewno dodatnie lub ewentualnie równe \(0\) (wtedy, gdy \(y=2\)). Możemy więc powiedzieć, że \((y-2)^2\) jest liczbą nieujemną.
Mamy więc sytuację, w której do dodatniej liczby \((x-1)^2\) dodajemy nieujemną liczbę \((y-2)^2\). Suma takich liczb jest na pewno większa od zera, co należało udowodnić.