📄 Treść zadania
Punkty \(A=(-4,4)\) i \(B=(4,0)\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Przekątna tego kwadratu ma długość:
A
\(4\sqrt{10}\)
B
\(4\sqrt{2}\)
C
\(4\sqrt{5}\)
D
\(4\sqrt{7}\)
Krok 1. Obliczenie długości boku kwadratu.
Skoro punkty \(A\) oraz \(B\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu, to odcinek \(AB\) jest bokiem kwadratu. Korzystając ze wzoru na długość odcinka w układzie współrzędnych, możemy zapisać, że:
$$|AB|=\sqrt{(x_{B}-x_{A})^2+(y_{B}-y_{A})^2} \ ,\
|AB|=\sqrt{(4-(-4))^2+(0-4)^2} \ ,\
|AB|=\sqrt{(4+4)^2+(-4)^2} \ ,\
|AB|=\sqrt{8^2+(-4)^2} \ ,\
|AB|=\sqrt{64+16} \ ,\
|AB|=\sqrt{80} \ ,\
|AB|=\sqrt{16\cdot5} \ ,\
|AB|=4\sqrt{5}$$
Krok 2. Obliczenie długości przekątnej kwadratu.
Kwadrat o boku \(a\) ma przekątną o długości \(a\sqrt{2}\). Skoro tak, to przekątna naszego kwadratu będzie mieć długość:
$$d=4\sqrt{5}\cdot\sqrt{2} \ ,\
d=4\sqrt{10}$$