📄 Treść zadania
Prosta o równaniu \(y=ax+b\) jest prostopadła do prostej o równaniu \(y=-4x+1\) i przechodzi przez punkt \(P=(\frac{1}{2},0)\), gdy:
A
\(a=-4\) i \(b=-2\)
B
\(a=\frac{1}{4}\) i \(b=-\frac{1}{8}\)
C
\(a=-4\) i \(b=2\)
D
\(a=\frac{1}{4}\) i \(b=\frac{1}{2}\)
Krok 1. Ustalenie współczynnika \(a\).
Iloczyn współczynników kierunkowych \(a\) dwóch prostych prostopadłych musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma współczynnik kierunkowy \(a=-4\), to druga prosta musi mieć ten współczynnik równy \(a=\frac{1}{4}\). Możemy to nawet rozpisać matematycznie:
$$-4\cdot a=-1 \ ,\
a=\frac{1}{4}$$
W ten oto sposób możemy już ograniczyć się do dwóch odpowiedzi, czyli \(B\) oraz \(D\).
Krok 2. Ustalenie współczynnika \(b\).
Skoro nasza prosta prostopadła ma współczynnik \(a=\frac{1}{4}\), to znaczy że musi wyrażać się wzorem:
$$y=\frac{1}{4}x+b$$
Podstawiając do tego równania współrzędne punktu \(P\) (przez który ta prosta przechodzi) obliczymy współczynnik \(b\):
$$0=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}+b \ ,\
0=\frac{1}{8}+b \ ,\
b=-\frac{1}{8}$$
To oznacza, że prawidłowa będzie druga odpowiedź.