📄 Treść zadania
Dany jest graniastosłup prawidłowy trójkątny (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe \(45\sqrt{3}\). Pole podstawy graniastosłupa jest równe polu jednej ściany bocznej. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Krok 1. Obliczenie pola podstawy graniastosłupa.
Z treści zadania wynika, że pole podstawy (czyli \(P_{p}\)) jest dokładnie takie samo jak pole ściany bocznej (które oznaczymy sobie jako \(P_{śb}\)). Skoro więc \(P_{p}=P_{śb}\) to korzystając ze wzoru na pole powierzchni całkowitej możemy zapisać, że:
$$P_{c}=2P_{p}+3P_{śb}$$
$$P_{c}=2P_{p}+3P_{p}$$
$$P_{c}=5P_{p}$$
$$45\sqrt{3}=5P_{p}$$
$$P_{p}=9\sqrt{3}$$
Krok 2. Obliczenie długości krawędzi podstawy.
Skoro w podstawie jest trójkąt równoboczny i skoro znamy jego pole powierzchni (obliczyliśmy je przed chwilą) to w prosty sposób możemy obliczyć także długość krawędzi podstawy:
$$P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
$$9\sqrt{3}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \quad\bigg/\cdot4$$
$$36\sqrt{3}=a^2\sqrt{3} \quad\bigg/:\sqrt{3}$$
$$a^2=36$$
$$a=6 \quad\lor\quad a=-6$$
Wartość ujemną oczywiście odrzucamy, bo długość boku nie może być ujemna. Zostaje nam zatem \(a=6\).
Krok 3. Obliczenie wysokości graniastosłupa.
Wysokość graniastosłupa jest jednocześnie wysokością ściany bocznej. O tej ścianie bocznej wiemy, że jest prostokątem o polu powierzchni \(9\sqrt{3}\) (bo jest to takie samo pole co pole podstawy). Skoro więc znamy miarę jednego boku tego prostokąta \(a=6\), to drugi bok (będący jednocześnie wysokością graniastosłupa) jest już bardzo prosty do policzenia:
$$P_{śb}=a\cdot H$$
$$9\sqrt{3}=6\cdot H$$
$$H=\frac{3}{2}\sqrt{3}$$
Krok 4. Obliczenie objętości graniastosłupa.
Mamy już wszystkie potrzebne dane do obliczenia objętości, zatem:
$$V=P_{p}\cdot H$$
$$V=9\sqrt{3}\cdot\frac{3}{2}\sqrt{3}$$
$$V=\frac{27}{2}\cdot3$$
$$V=\frac{81}{2}$$