Zadanie 28 Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Maj 2015 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Wypisanie danych z treści zadania.
Generalnie naszym zadaniem jest porównanie pola powstałego rombu do pola dużego kwadratu. Do wyznaczenia pola rombu przydadzą nam się długości jego przekątnych. Jeżeli przyjęlibyśmy, że \(|AC|\) (czyli przekątna kwadratu) ma długość \(d\), to zgodnie z treścią zadania:
$$|KM|=\frac{1}{2}d$$ $$|LN|=\frac{2}{3}d$$

Krok 2. Obliczenie pola rombu i kwadratu.
Zarówno pole rombu jak i kwadratu możemy wyliczyć mnożąc przez siebie długości przekątnych i dzieląc wynik na \(2\).
Pole rombu:
$$P_{r}=\frac{1}{2}ef$$ $$P_{r}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}d\cdot\frac{2}{3}d$$ $$P_{r}=\frac{1}{6}d^2$$

Pole kwadratu:
$$P_{k}=\frac{1}{2}ef$$ $$P_{k}=\frac{1}{2}\cdot d\cdot d$$ $$P_{k}=\frac{1}{2}d^2$$

Krok 3. Porównanie pola rombu i kwadratu.
Musimy sprawdzić jaki jest stosunek między tymi polami, tak więc:
$$\frac{P_{r}}{P_{k}}=\frac{\frac{1}{6}d^2}{\frac{1}{2}d^2}=\frac{1}{3}$$

W ten sposób zadanie zostało udowodnione.