📄 Treść zadania
Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość równą \(8\). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe:
A
\(\frac{8^2}{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+2\right)\)
B
\(8^2\cdot\sqrt{3}\)
C
\(\frac{8^2\sqrt{6}}{3}\)
D
\(8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)\)
Krok 1. Obliczenie pola powierzchni podstawy.
W podstawie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny. Skorzystamy więc ze wzoru na jego pole, podstawiając \(a=8\). Zatem:
$$P_{p}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$
$$P_{p}=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}$$
W takiej postaci to zostawimy, bo widzimy że w odpowiedziach pojawia się \(8^2\).
Krok 2. Obliczenie pola ściany bocznej.
Skoro każda krawędź ma długość \(8\), to w ścianie bocznej musimy mieć kwadrat o boku \(8\). Jego pole jest wiec równe:
$$P_{b}=a^2$$
$$P_{b}=8^2$$
Krok 3. Obliczenie pola powierzchni całkowitej.
Mamy dwie podstawy oraz trzy ściany boczne, więc możemy obliczyć pole całkowite. Na sam koniec obliczeń musimy się jeszcze dopasować do naszych odpowiedzi, czyli wyłączyć \(8^2\) przed nawias:
$$P_{c}=2P_{p}+3P_{b}$$
$$P_{c}=2\cdot\frac{8^2\sqrt{3}}{4}+3\cdot8^2$$
$$P_{c}=\frac{8^2\sqrt{3}}{2}+3\cdot8^2$$
$$P_{c}=8^2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+3\right)$$