Zadanie 34 Matura z matematyki (poziom podstawowy) - Maj 2012 — zadania z rozwiązaniami

Krok 1. Wypisanie informacji z treści zadania.
\(s=210km\) - trasa z miasta \(A\) do \(B\) (w kilometrach)
\(v\) - prędkość pociągu pospiesznego (w \(\frac{km}{h}\))
\(v-24\) - prędkość pociągu osobowego (w \(\frac{km}{h}\))
\(t\) - czas pokonania trasy przez pociąg pospieszny (w godzinach)
\(t+1\) - czas pokonania trasy przez pociąg osobowy (w godzinach)

Krok 2. Stworzenie i rozwiązanie układu równań.
Z powyższych danych możemy stworzyć dość prosty układ równań. Wykorzystamy przy tym wzór na drogę \(s=vt\) i podstawimy do niego raz dane dotyczące pociągu pospiesznego, a raz pociągu osobowego, zatem:
\begin{cases} vt=210 \\ (v-24)(t+1)=210 \end{cases}

Z pierwszego równania możemy podstawić do drugiego wartość \(v=\frac{210}{t}\) i otrzymamy:
$$\left(\frac{210}{t}-24\right)\left(t+1\right)=210$$ $$210+\frac{210}{t}-24t-24=210$$ $$\frac{210}{t}-24t-24=0 \quad\bigg/\cdot t$$ $$210-24t^2-24t=0$$ $$-24t^2-24t+210=0$$

Powstałą równość możemy jeszcze uprościć dzieląc obie strony przez \(6\), dzięki czemu otrzymamy:
$$-4t^2-4t+35=0$$

Jeśli nie dostrzeżesz tego dzielenia, to nic się nie stanie, po prostu w kolejnym kroku będziesz wykonywać działania na większych liczbach, ale wynik wyjdzie ten sam.

Krok 3. Rozwiązanie powstałej równości.
Równość kwadratową możemy obliczyć za pomocą tzw. metody delty.
Współczynniki: \(a=-4,\;b=-4,\;c=35\)
$$Δ=b^2-4ac=(-4)^2-4\cdot(-4)\cdot35=16+560=576$$ $$\sqrt{Δ}=\sqrt{576}=24$$

$$t_{1}=\frac{-b-\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)-24}{2\cdot(-4)}=\frac{4-24}{-8}=\frac{-20}{-8}=2,5$$ $$t_{2}=\frac{-b+\sqrt{Δ}}{2a}=\frac{-(-4)+24}{2\cdot(-4)}=\frac{4+24}{-8}=\frac{28}{-8}=-3,5$$

Ujemne rozwiązanie musimy odrzucić, bo czas nie może być ujemny. Zatem trzymaliśmy wartość \(t=2,5\), a to oznacza, że czas pokonania drogi przez pociąg pospieszny to \(2,5\) godziny.