📄 Treść zadania
Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu \(5\) jest równe:
A
\(25\)
B
\(50\)
C
\(75\)
D
\(100\)
Krok 1. Ustalenie długości przekątnej kwadratu.
Z własności kwadratów wpisanych w okrąg wynika, że przekątna kwadratu wpisanego w okrąg jest równa \(2r\), czyli w naszym przypadku \(2\cdot5=10\).
Krok 2. Obliczenie długości boku kwadratu.
Z własności kwadratu wiemy, że przekątną możemy opisać wzorem: \(d=a\sqrt{2}\).
Skoro przekątna kwadratu ma długość \(10\), to bok kwadratu jest równy:
$$10=a\sqrt{2}$$
$$a=\frac{10}{\sqrt{2}}=\frac{10\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{10\sqrt{2}}{2}=5\sqrt{2}$$
Krok 3. Obliczenie pola kwadratu.
$$P=a^2$$
$$P=(5\sqrt{2})^2=25\cdot2=50$$