Krok 1. Sporządzenie rysunku poglądowego.
Z rysunku musimy dostrzec, że prosta przechodząca przez środek okręgu i punkt \(A\) jest prostopadła do naszej prostej o równaniu \(y=2x-3\) (wynika to bezpośrednio z własności stycznych do okręgu). To będzie nasz punkt wyjścia do dalszych obliczeń.
Krok 2. Ustalenie współczynnika \(a\) prostej prostopadłej do prostej \(y=2x-3\).
Aby proste opisane wzorem ogólnym \(y=ax+b\) były względem siebie prostopadłe, to iloczyn ich współczynników kierunkowych \(a\) musi być równy \(-1\). Skoro pierwsza prosta ma ten współczynnik równy \(a=2\), to współczynnik kierunkowy poszukiwanej prostej \(p\) będzie równy:
$$2\cdot a=-1$$
$$a=-\frac{1}{2}$$
Wiemy już, że nasza prosta ma więc postać: \(y=-\frac{1}{2}x+b\).
Krok 3. Obliczenie współczynnika \(b\).
Jesteśmy już bardzo blisko poznania pełnego wzoru prostej, brakuje nam jeszcze wartości współczynnika \(b\). Obliczymy go podstawiając do wyznaczonego przed chwilą wzoru współrzędne punktu \(S=(3,7)\) przez które ta prosta przechodzi.
$$y=-\frac{1}{2}x+b$$
$$7=-\frac{1}{2}\cdot3+b$$
$$7=-1,5+b$$
$$b=8\frac{1}{2}$$
Wzór naszej prostej prostopadłej to: \(y=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2}\).
Krok 4. Obliczenie współrzędnych punktu \(A\).
Skoro znamy pełne wzory dwóch prostych, to możemy stworzyć z nich układ równań, którego rozwiązaniem będą współrzędne miejsca ich przecięcia, czyli współrzędne punktu \(A\).
\begin{cases} y=2x-3 \\ y=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2} \end{cases}
Podstawiając pierwsze równanie do drugiego otrzymujemy:
$$2x-3=-\frac{1}{2}x+8\frac{1}{2}$$
$$2\frac{1}{2}x=11\frac{1}{2}$$
$$\frac{5}{2}x=\frac{23}{2}$$
$$x=\frac{23}{5}=4\frac{3}{5}$$
Znając wartość współrzędnej \(x\) możemy podstawić ją do jednego z równań i wyznaczyć w ten sposób brakującą współrzędną \(y\).
$$y=2x-3$$
$$y=2\cdot4\frac{3}{5}-3$$
$$y=9\frac{1}{5}-3$$
$$y=6\frac{1}{5}$$
Współrzędne punktu styczności to: \(A=\left(4\frac{3}{5};6\frac{1}{5}\right)\).