📄 Treść zadania
Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_{n})\), określony dla wszystkich liczb naturalnych \(n\ge1\). Suma dwudziestu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(20a_{21}+62\). Oblicz różnicę ciągu \((a_{n})\).
Krok 1. Zapisanie wzoru na sumę dwudziestu początkowych wyrazów.
Korzystając ze wzoru na sumę \(n\) początkowych wyrazów możemy zapisać, że:
$$S_{n}=\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\cdot n$$
$$S_{20}=\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot20$$
Z treści zadania wynika, że ta suma ma być równa \(20a_{21}+62\), zatem:
$$\frac{a_{1}+a_{20}}{2}\cdot20=20a_{21}+62$$
$$(a_{1}+a_{20})\cdot10=20a_{21}+62$$
$$a_{1}+a_{20}=2a_{21}+6,2$$
Krok 2. Obliczenie różnicy ciągu.
Z własności ciągów wiemy, że \(a_{20}=a_{1}+19r\) oraz że \(a_{21}=a_{1}+20r\). Podstawiając te informacje do wyznaczonego przed chwilą równania, możemy zapisać, że:
$$a_{1}+a_{1}+19r=2\cdot(a_{1}+20r)+6,2$$
$$2a_{1}+19r=2a_{1}+40r+6,2$$
$$-21r=6,2$$
$$-21r=\frac{62}{10} \quad\bigg/\cdot\left(-\frac{1}{21}\right)$$
$$r=-\frac{62}{210}=-\frac{31}{105}$$